π, φ et la Grande Pyramide de Gizeh

En 2011, le documentaire La Révélation des Pyramides sortait sur internet. Je le découvrais deux ans plus tard. Ce film, avec toutes les controverses et renversements qu’il charrie, s’intéresse à la construction de la Grande Pyramide de Gizeh (GPG) et bouscule les thèses de l’égyptologie : théories de construction, corrélation avec d’autres sites archéologiques à travers le monde, rapport aux étoiles et aux paramètres orbitaux de la Terre, beaucoup de sujets y passent. De tous les problèmes que soulèvent la GPG, ce sont ceux d’ordre mathématique qui retiennent aujourd’hui mon attention.

En effet, les nombres π et φ (nombre d’or) semblent apparaître dans de nombreux rapports de proportion de la GPG. Cela pose problème car l’égyptologie ne reconnaît pas aux anciens Egyptiens la connaissance de ces nombres. Dans le lien du film donné ci-dessus, à 1:04:20, le mathématicien et architecte Claude Genzling avance la chose suivante :

On trouve [le nombre φ] tellement souvent que la probabilité que ce soit dû au hasard est pratiquement nulle. Elle est infinitésimale. Pour moi, très sincèrement, c’est comme si elle était nulle. Il est raisonnable, même pour un mathématicien, qui normalement doit pouvoir calculer [cette] probabilité, […] de penser que le volume même de cette pyramide là a été choisi en raison des grandes possibilités de faire apparaître à travers elle le nombre d’or.

Des recherches personnelles m’ont amené à m’intéresser à différentes disciplines abordées dans le film (notamment la géologie, l’astronomie et l’astrophysique) pour finalement revenir sur les aspects mathématiques de la GPG. Il y a, pour M. Genzling comme pour les auteurs du film, une intention dans le choix des dimensions. Il existe de nombreuses études mathématiques faites par des professionnels (mathématiciens, égyptologues) ou des particuliers mais aucune que j’ai pu voir ne semblait aborder la question sous cet angle. Je me suis donc mis en tête de tester l’hypothèse suivante :

Les dimensions de la Grande Pyramide de Gizeh ont été choisies
afin de faire apparaître à travers elle π et φ.

First things first

Avant toute chose, sachez que tous les résultats de cet article se trouve dans un fichier Excel en fin d’article, dans la partie « Source sur l’aspect mathématique de la GPG ». Vous pouvez l’utiliser librement, sans me citer et faire ce que vous voulez de ce fichier. Les idées qui me traversent l’esprit ne m’appartiennent pas : je suis un canal de transmission.

L’étude des dimensions de la GPG se heurte à trois grands problèmes :

  • Les dimensions d’origine ne peuvent être mesurées sur place étant donné que le haut de la pyramide est manquant et que le revêtement qui la recouvrait a été retiré à sa base (un tremblement de terre a rasé la ville de Gizeh au 14ème siècle et les autochtones sont venus retirer des blocs de parement pour reconstruire la ville). Le côté base et la hauteur d’origine sont perdues.
  • L’étalon d’origine (la coudée royale) n’est pas clairement établie. L’architecte et archéologue interviewé, Jean-Pierre Adam, parle de coudées variables allant de 52cm et 53cm. Les auteurs du film citent d’autres sources et proposent une équation donnant 0,5236m très précisément.
  • La base de la pyramide serait octogonale. En effet, un léger creusement des 4 faces (qu’il soit accidentel ou non) complexifie le calcul : peut-on simplifier les dimensions et travailler sur une base carrée ? Faut-il chercher les dimensions de la base octogonale ?

Il a donc fallu déterminer des angles de recherche qui sont eux aussi au nombre de trois :

  • Si le volume de la GPG a été choisi pour faire apparaître π et φ , alors on devrait pouvoir retrouver ses dimensions originales grâce à ces nombres.
  • Si la coudée doit intervenir, on testera plusieurs valeurs comprises entre 52 et 53 cm.
  • Les dimensions recherchées sont celles d’une pyramide à base carrée. Cela ne remet pas en cause l’hypothèse de la construction d’une base volontairement octogonale mais écarte, provisoirement, son importance dans le choix des dimensions en vue de faire apparaître π et φ.

Méthodologie (ou le choix de la voie)

Nous avons constaté qu’il semble exister un certain consensus sur les dimensions d’un côté du carré base (c) et de la hauteur (h) de la GPG : on parle respectivement de 440 coudées royales et 280 coudées royales. Pour tester l’hypothèse de M. Genzling, nous avons choisi de tester deux fourchettes de dimensions :

  • Pour le côté du carré base, entre 400 et 475 coudées,
  • Pour la hauteur, entre 245 et 315 coudées.

Nous faisons ensuite varier les dimensions par pas de 5 coudées ou par pas d’1 coudée et calculons, pour chaque pyramide hypothétique, un certain nombre de rapports sensés faire apparaître π ou φ. Puis nous calculons l’écart obtenu entre le nombre que fait apparaître le rapport des dimensions et la constante recherchée elle-même. Pour chaque rapport de dimensions, nous avons une table qui donne l’écart en pourcentage entre la constante recherchée et la constante telle que la fait apparaître la GPG. Enfin, nous mettons les résultats en forme de la manière suivante : en vert, les écarts inférieurs à 1%, et en rouge, les écarts supérieurs à 5%.

Il existe de nombreux rapports de proportion mettant en jeu π ou φ dans la GPG. Nous avons choisi de nous concentrer sur trois grands rapports de proportion qui sont :

  • Le demi-périmètre (2 fois le côté du carré base) divisé par la hauteur visible (du sommet au plancher de la GPG),
  • La somme des 4 surfaces des faces triangulaires divisée par la surface du carré base (ou surface totale visible divisée par la surface totale invisible).
  • Le demi-périmètre divisé par la hauteur totale (du sommet au plancher de la chambre basse).

Le premier doit faire apparaître π, le second φ et le dernier φ². Encore une fois, cet article est loin d’épuiser tous les rapports existants de proportions « remarquables » de la GPG. Il s’agit d’une tentative d’analyser mathématiquement un niveau de précision qui aurait été visé par les bâtisseurs.

On charge son sac de constantes, on fait un tour de chauffe, et on y va

Tout d’abord, on se remet en mémoire la forme de la GPG qui est la suivante :

pyramide-modele.png

Le principe est le suivant : les bâtisseurs ont pris un carré base puis lui ont superposé un cercle de même périmètre : le rayon de ce cercle (ci-dessus en bleu) donne la hauteur de la GPG. Ils auraient donc « circulariser le carré »… ou peut-être le contraire. On peut tout aussi bien commencer avec un cercle, en faire la quadrature et en déduire la base carrée. les anglophones résument cela ainsi : « circling the square or squaring the circle ».

Nous avons utilisé le logiciel Excel pour faire nos calculs. Celui-ci dispose d’une fonction PI() que nous avons utilisé et qui donne π avec une précision de 14 chiffres après la virgule. Quant à φ, il a fallu le calculer nous-même grâce à l’équation suivante :

Phi.gif

Excel nous donne là encore une précision de 14 chiffres : au-delà, il n’affiche que des 0. Pour rappel, π vaut environ 3,141592… et φ, 1,618033… Nous utiliserons également φ² qui vaut φ+1 soit 2,618033…

Le film La Révélation des Pyramides avancent que la coudée royale, étalon de mesure de la GPG, a été définie grâce à ces constantes pour des raisons mathématiques. Ainsi, la coudée vaudrait π – φ² (ce qui donne, après arrondi avec 4 décimales après la virgule, 0,5236m, ce qui est très proche de π/6, avec une erreur de 0,0077%). La coudée n’intervient pas dans nos trois premières études. Nous ferons appel à elle plus tard et pouvons sans plus tarder nous attaquer aux trois rapports de proportion.

Etude #1 : calcul du rapport demi-périmètre  / hauteur visible

La première hypothèse est que le demi-périmètre divisé par la hauteur visible de la GPG vaut π soit : 2c / h = π . Comme expliqué, nous avons préparé un jeu de dimensions en faisant varier la hauteur et la longueur du carré du côté base afin de tester l’écart à π. Pour cela, pour chaque longueur du côté et hauteur, nous calculons l’erreur suivante :

Erreur PI.gif

Nous obtenons ainsi un premier jeu de résultats :

premier-calcul

Comme nous pouvons le constater, les dimensions qui donnent le rapport 2c/h le plus proche de π sont 440 coudées de côté pour 280 coudées de hauteur. Cela n’est pas surprenant car le rapport 440/280 se réduit à 22/7 qui est la fraction la plus simple approchant le mieux π (l’écart est d’à peine 0,04%). Par précaution, nous avons décidé de répéter l’opération en faisant varier les valeurs de hauteur et de côté coudée par coudée (d’où le rectangle en gras ci-dessus) dans un intervalle restreint. On obtient alors :

second-calculc

Force est de constater que plusieurs jeux de dimensions donnent des approximations de π avec moins d’1% d’écart et que le choix du couple [440 ; 280] donne le meilleur résultat.

Etude #2 : calcul du rapport surfaces visibles / surface invisible

La somme des surfaces des 4 faces triangulaire (Sft) divisée par la surface du carré base (Scb) s’approche de φ, soit Sft / Scb = φ. Pour calculer la surface d’une des faces triangulaires, il nous faut l’apothème (ap). Dans la figure ci-dessous, l’apothème est le segment SH :

apotheme

Alors on sort Pythagore de sa boîte à outil. On a SH qui est l’apothème (ap) recherché, SO qui est la hauteur (h) et OH qui a la longueur d’un demi-côté (c/2), d’où les égalités suivantes :

ap

Pour avoir la surface d’une des faces triangulaires (S), on a plus qu’à multiplier l’apothème par un demi-côté soit :

s-triangle

Etant donné qu’on cherche à avoir les 4 faces carrées divisées par la surface du carré base (qui vaut c²), on en arrive au développement suivant:

surfaces-visible-et-invisible

Comme précédemment, c’est l’écart entre cette valeur et la constante approchée, φ, qui nous intéresse. Nous allons donc calculer l’erreur suivante :

erreur-phi

Puis avec les plages de côté et hauteur choisies, nous obtenons la table suivante :

troisieme-resultat

Une fois de plus, c’est le couple [c ; h] = [440 ; 280] qui permet d’approcher φ au mieux. Nous répétons l’opération d’affinage des résultats, d’où cette seconde table :

quatrieme-table

Pas de doute, c’est bien le couple de dimensions [440 ; 280] qui permet d’approcher le mieux possible φ par le rapport « somme des 4 surfaces triangulaires / surface de la base carrée ».

Etude #3 : calcul du rapport demi-périmètre / hauteur invisible

Nous avons évoqué tout à l’heure la hauteur visible (h) qui est la distance entre le plancher de la GPG et son sommet. Pour l’instant, les deux premiers calculs nous amènent à penser que, dans l’hypothèse choisie, la hauteur visible est de 280 coudée. Or, il existe une autre hauteur dite « invisible » qui correspond à la distance entre le sommet et le plancher de la chambre basse. En effet, la GPG a le plan de coupe suivant :

plan-de-coupe-gizeh

Comme vous pouvez le voir, la GPG n’est pas sur un sol parfaitement plat. Bien que le travail d’aplanissement du terrain soit remarquable (on parle de 2cm maximum de différence entre deux points du plateau de la GPG dont la surface vaut environ 6 terrains de football), les bâtisseurs n’ont que partiellement rasé la colline de calcaire sur laquelle la pyramide se trouve. La hauteur dont on parle ici est bien la hauteur à partir du plateau et pas la hauteur à partir du sommet de la colline de calcaire rasée.

Selon le film La Révélation des Pyramides, on peut entendre, à 55:59, que le plancher de la chambre basse se trouverait à une profondeur égale à h/5 par rapport au niveau plancher de la GPG soit 280/5 = 56 coudées sous le niveau du plancher. Ce rapport de h/5 s’intègre dans un jeu de rapport plus large où :

  • h/2 donne le sommet de la chambre du Roi,
  • h/3, le plancher de la chambre du Roi,
  • h/4, le sommet de la chambre de la Reine,
  • h/7, le plancher de la chambre de la Reine.

Cela nous donne donc la hauteur dite invisible (h’) suivante : 280 + 56 = 336 coudées. Nous avons donc introduit un nouveau jeu de dimensions allant de 300 à 375 coudées pour cette hauteur invisible (h’). Ici, le rapport qui nous intéresse est 2c/h’ qui approche φ². L’écart est ainsi calculé :

erreur-phi-carre

Vous êtes désormais familier avec le processus, voilà donc sans plus tarder les résultats :

cinquieme-jeu-de-resultats

Nous avons directement intégré le pas à pas d’1 coudée dans l’intervalle [330 ; 340], avant de reprendre des calculs avec des pas de 5 coudées. Le jeu de dimensions [h’ ; c] = [336 ; 440] est celui qui permet d’obtenir la meilleure résolution de φ² grâce au rapport 2c/h’. Cela tend à valider l’hypothèse selon laquelle le plancher de la chambre basse se trouve à une profondeur de h/5, dans la perspective où ces dimensions ont été choisies pour faire apparaître les deux constantes mathématiques qui nous intéressent.

Premières conclusions

Pour rappel, l’hypothèse à tester est celle inspirée par M. Genzling et était la suivante : les dimensions de la GPG ont été choisies afin de faire apparaître π et φ. A travers les trois rapports de dimensions étudiées faisant intervenir la hauteur visible (h), la longueur d’un côté du carré base (c) et la hauteur invisible (h’) nous avons vu que le jeu de dimensions [h ; c] = [280 ; 440] permet de faire systématiquement apparaître π et φ avec la plus petite erreur possible. Pour rappel, ces deux nombres sont irrationnels (ils ne peuvent s’exprimer par une division : nous avons vu que 22/7 s’approche π mais ne lui est pas égal). On peut croire au hasard pour un nombre irrationnel mais cela est déjà plus difficile pour deux. D’autant plus que la résolution est la meilleure possible dans les 3 cas. Le dernier calcul semble corroborer le choix de ces dimensions en ajoutant un nouveau paramètre : la profondeur de la chambre basse aurait été calculée sur la base de la hauteur visible (h). Cela s’intègre parfaitement à l’idée que la GPG a été pensée selon un plan d’ensemble harmonieux où le hasard n’a pas sa place.

A ce stade, il est important de relever deux biais importants dont souffre cette démonstration :

  • L’incontournable biais de validation d’hypothèse. Nous sommes partis d’une affirmation d’un spécialiste (argument d’autorité) que nous avons cherché à valider et non à contredire.
  • De plus, tout couple de dimensions homothétiques à [280 ; 440] fait l’affaire. Par exemple, une pyramide de 7 coudées de haut et de 11 coudées de côté atteindrait le même degré de précision (car, 280 = 7 x 40 et et 440 = 11 x 40). Il en va de même pour une pyramide de dimensions [140 ; 220], [28 ; 44] etc. Nous n’avons donc pas justifié le choix de ces dimensions précises…

Dans l’hypothèse où les bâtisseurs voulaient intentionnellement faire apparaître les constantes π et φ, cette démonstration permet en l’état d’étayer que les dimensions originales perdues étaient bien de 280 coudées de hauteur et 440 coudées de côté.

Si on reconnaît aux bâtisseurs la connaissance de ces nombres, il est moins absurde de penser que la coudée royale aurait été choisie pour des raisons mathématiques, telle que coudée royale = π φ² : il semble plutôt malin d’incorporer à son étalon de mesure les constantes que l’on cherche à faire apparaître. Mais ce raisonnement mérite d’être plus largement supporté.

Un digestif avant de partir ? Cas de la coudée royale, du mètre et de la vitesse de la lumière

Nous avions évoqué le problème de la valeur de la coudée royale. Dans les 3 rapports de dimension étudiés, celle-ci n’intervenait pas. Avant de se quitter, nous vous proposons une dernière étude sur son implication dans l’apparition d’une constante des plus perturbantes : la vitesse de la lumière.

Nous aurons pour cela besoin du carré base de la GPG. Ce carré base est, dans le dessin ci-dessous, le carré ABCD. De là, nous traçons deux cercles :

cercles

Pour calculer le périmètre du carré base, rien de plus facile, il suffit d’additionner les 4 côtés (soit 4.c). Quand au périmètre (p) d’un cercle, il s’obtient par la célèbre formule « pet = 2 pierres » (à ce stade de la lecture, une petite blaguounette de derrière les fagots n’était-elle pas la bienvenue ?) :

pet-2-pierres

Où r est le rayon du cercle étudié. Si on appelle r’ le rayon du cercle circonscrit, et r » le rayon du cercle inscrit, alors on aura respectivement :

rayons

D’où les périmètres p’ et p » :

perimetres

Il nous vient alors l’idée saugrenue de soustraire le second au premier. Si on calcule ces deux périmètres pour la GPG avec un côté du carré base de 440 coudées, on obtient respectivement p’ = 1954,86… coudées et p » = 1382,30… coudées soit p’ – p »= 575,56… coudées. Mais si on fait basculer ces dimensions en mètres avec la coudée de 0,5236m, alors on obtient p’ = 1023,56…m, p » = 723,77…m et p’-p » = 299,79…m. Cette dernière valeur ressemble « étrangement » à la célérité de la lumière dans le vide ce qui pose au moins TROIS PROBLEMES MAJEURS :

  • Le mètre n’est pas censé avoir existé avant 1793 !
  • Même en adhérent à l’hypothèse que la GPG a été dimensionnée pour faire apparaître π et φ, comment être sûr de la valeur de la coudée ?
  • La célérité de la lumière a été calculée par Albert Einstein au début du 20ème siècle (elle vaut 299 792 458  m/s) !

Nous avons appliqué ici le même protocole qu’auparavant. Nous faisons varier la valeur du côté du carré base (c) par pas de 5 coudées et la valeur de la coudée royale (cr) de 0,52 à 0,53. Enfin, la vitesse de la lumière est celle donnée ci-dessus avec la même précision. L’erreur calculée est la suivante :

erreur-2-c

Et le tableau de résultats donne :

sixieme-tableau-de-resultats

Puis nous faisons l’habituel point de focal, cette fois-ci sur la fourchette c = [435 ; 445] et cr = [0,5230 ; 5240] pour obtenir la table suivante :

septieme-table-de-resulatts

Ainsi, en soustrayant le périmètre du cercle inscrit au périmètre du cercle circonscrit en mètre et en comparant le résultat obtenu à la vitesse de la lumière connue, le plus petit écart est obtenu avec une coudée royale de 0,5236m et un côté de 440 coudées.

Nous avons donc 4 petites études qui tendent vers le jeu de dimensions [h ; c ; cr] = [280 ; 440 ; 0,5236]. Le 4ème cas est de loin le plus perturbant car il implique une connaissance du mètre et de la vitesse de la lumière bien antérieure à notre civilisation. D’où les questions qui en découlent naturellement : qui a pu faire ça ? Quand ? Comment ? Et surtout, pourquoi entreprendre un tel chantier avec un tel souci de précision ?

A bon entendeur, je vais me coucher. On se revoit plus tard pour discuter pyramide et civilisation disparue.

Quelques sources sur l’aspect mathématique de la Grande Pyramide de Gizeh

5 réflexions sur “π, φ et la Grande Pyramide de Gizeh

  1. La pyramide de gizeh est basée sur un triangle de Kepler, hauteur racine de Phi, base 1 et hypothénuse phi. Elle dévoile le nombre pi car le périmetre de la base est égale à la circonférence d’un cercle dont le rayon est la hauteur -> pi = 4/ racine de phi. Voir les vidéos de Harry Lear qui s’est donné la peine de le mesurer.

    La hauteur de la pyramide de gizeh est 152.9553357 ( base 240.4920959 ).
    Cette hauteur * 280 (nombre d’élément dans l’univers) * 7 donne le vitesse de la lumière.

    Pi = 3.14159 … donne une base 230.4 mm trop courte ( 240.2616795 ).

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  2. J’ai apprécié la rigueur et l’honnêteté de votre travail, mais je note des erreurs discrètes qui hélas me le font déprécier… Ce sont principalement vos parti-pris qui gênent : les dimensions réelles, quand bien même la pyramide eut été neuve, varient en fonction de la chaleur et donc de la dilatation, de l’heure de la journée et du lieu des prises de dimensions… Vous êtes – selon moi – parti à l’envers : reconnaissez que tout ce travail ne tien que par la validité de l’étalon métrologique : la coudée… Ainsi, vous ne découvrirez rien de plus, et ne comprendrez pas où voulaient en venir les bâtisseurs, ce qui est navrant… Quoi qu’il en soit : un grand merci !

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    1. Bonjour monsieur GRIMAULT,

      C’est un véritable plaisir de lire un commentaire provenant du fameux « informateur » de La Révélation des Pyramides. Sachez que ce film a été une véritable épiphanie pour moi car je suis de ceux pour qui les « bonnes questions » valent bien plus que les « bonnes réponses ». Ce film ne manque pas de me questionner aujourd’hui encore et m’a ouvert à bien des disciplines (zététique, géologie, astronomie…) en même temps qu’il m’a fait replonger dans les mathématiques que j’ai toujours affectionnées. Depuis la publication de cet article (déjà 3 ans), j’ai collecté plusieurs autres sources et études mathématiques sur le sujet et j’ai en brouillon une nouvelle mouture que je ne manquerai de vous notifier lorsqu’il paraitra ici. En vous remerciant pour votre retour critique et vos pistes de réflexion et dans l’attente d’un prochain film (j’ai participé aux financements de celui de M. POOYARD et du vôtre), je vous souhaite une bonne continuation.

      Meilleures salutations

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    1. Bonjour Arthur et merci pour vos deux commentaires. J’ai regardé la vidéo d’Harry LEAR et je m’en tiendrais pour l’instant à un principe de base : en mathématiques, la mesure ne peut faire office de démonstration. Je me suis intéressé à cette hypothèse sur la valeur de pi (4/racine de phi) et je prépare un second article sur la pyramide de Gizeh en partant, comme l’a suggéré monsieur Grimault dans un commentaire ci-dessus, de la coudée royale (pi-phi²) plutôt que des dimensions. J’ai également prévu d’intégrer l’hypothèse pi = 4/racine de phi pour la confronter aux résultats obtenus avec la valeur consensuelle de pi. Merci pour vos remarques et au plaisir de vous partager un nouvel article à ce sujet.

      Meilleures salutations

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